เนื้อหาคณิตศาสตร์

วันอังคารที่ 10 มกราคม พ.ศ. 2555

ทฤษฏีความน่าจะเป็น

ทฤษฎีความน่าจะเป็น คือ การศึกษาความน่าจะเป็นแบบคณิตศาสตร์
นักคณิตศาสตร์จะมองความน่าจะเป็นว่าเป็นตัวเลขระหว่างศูนย์กับหนึ่ง ที่กำหนดให้กับ "เหตุการณ์" (ความน่าจะเป็นที่เท่ากับ 0 ก็คือไม่มีโอกาสที่เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้น แต่ถ้าความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 แสดงว่าเหตุการณ์เหล่านั้นเกิดขึ้นได้อย่างแน่นอน) ที่เกิดขึ้นแบบสุ่ม ความน่าจะเป็น

P (E)

ถูกกำหนดให้กับเหตุการณ์

E

ตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์

E

จะเกิดขึ้น เมื่อ กำหนด ให้อีกเหตุการณ์

F

เกิดขึ้น เรียกว่าความน่าจะเป็นมีเงื่อนไข ของ

E

เมื่อให้

F

โดยค่าความน่าจะเป็นคือ $P(E \cap F)/P(F)$ (เมื่อ

P (F)

ไม่เป็นศูนย์) ถ้าความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขของ

E

เมื่อให้

F

มีค่าเช่นเดียวกับความน่าจะเป็น (แบบไม่มีเงื่อนไข) ของ

E

เราจะกล่าวว่าเหตุการณ์

E

และ

F

เป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกันเชิงสถิติ เราจะสังเกตได้ว่าความสัมพันธ์นี้เป็นความสัมพันธ์สมมาตร ทั้งนี้เนื่องจากการเป็นอิสระต่อกันนี้เขียนแทนได้เป็น $P(E \cap F) = P(E)P(F)$ .
แนวคิดหลักของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น โปรดดูบทความหลักสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม
ทฤษฎีความน่าจะเป็นมีหลายแนวคิด แนวคิดหนึ่งที่ได้รับความนิยมมากในสาขาปัญญาประดิษฐ์ และเศรษฐศาสตร์คือ ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์

ที่มาของข้อมูล : http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%88%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99

ทศนิยมซ้ำ

ทศนิยมซ้ำ คือ จำนวนตรรกยะอย่างหนึ่งในเลขฐานสิบ ที่มีตัวเลขบางชุดปรากฏซ้ำกันโดยไม่สิ้นสุด ซึ่งการซ้ำของตัวเลขอาจเกิดขึ้นก่อนหรือหลัง หรือคร่อมจุดทศนิยม และชุดตัวเลขที่ซ้ำกันอาจจะมีเพียงแค่ตัวเลขตัวเดียวก็ได้ ตัวอย่างเช่น 1/3 = 0.333333... (อ่านว่า ศูนย์จุดสาม สามซ้ำ)

สำหรับทศนิยมที่เขียนให้เลข 0 ตัวสุดท้ายซ้ำกันไปเรื่อยๆ ไม่ถือว่าเป็นทศนิยมซ้ำ เนื่องจากตำแหน่งของทศนิยมจะสิ้นสุดก่อนถึงเลข 0 ตัวสุดท้าย เพราะการเติมเลข 0 ซ้ำกันไปเรื่อยๆ นั้นไม่มีความจำเป็น คือไม่ทำให้ค่าของตัวเลขเปลี่ยนแปลงไปจากเดิม เช่น 0.56000000... = 0.56

ในกรณีพิเศษอย่างหนึ่งของทศนิยมซ้ำที่ไม่จำเป็น แต่บางครั้งก็มีประโยชน์ นั่นคือการซ้ำของเลข 9 เพียงตัวเดียว ซึ่งเลข 9 ที่ซ้ำทั้งหมดสามารถละทิ้งได้และเพิ่มค่าหลักที่อยู่ก่อนหน้าขึ้นไปหนึ่ง เช่น 0.999999... = 1 หรือ 1.77999999... = 1.78 โดยทั่วไปแล้ว รูปแบบการซ้ำของเลข 9 ใช้อธิบายว่าจำนวนมีที่มาอย่างไร หรือเพื่อแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ที่น่าสนใจ อาทิ 1 = 3/3 = 3 × 1/3 = 3 × 0.333333... = 0.999999... ดูเพิ่มที่ 0.999...

ทศนิยมในประเภทอื่นมี ทศนิยมรู้จบ และทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ

ทศนิยมรู้จบ คือจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนอย่างต่ำในรูปแบบ $k / (2 m 5 n)$ ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์

ทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ คือจำนวนอตรรกยะ ซึ่งไม่สามารถเขียนแทนด้วยอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้

สัญกรณ์

ในการเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปแบบที่อ่านง่าย ทำได้โดยการเติมขีดแนวนอน (vinculum) ไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำกัน เช่น $1/3 = 0.\bar{3}$ หรือเติมจุดไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำ ในตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้าย เช่น $1/7 = 0.\dot{1}4285\dot{7}$ อย่างไรก็ตาม การใช้จุดประ 3 จุด (…) เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการนำเสนอทศนิยมซ้ำ ถึงแม้ว่ายังไม่มีคำแนะนำว่าจะต้องเขียนชุดเลขที่ซ้ำมาก่อนกี่ครั้ง ตัวอย่างเช่น

1/9 = 0.111111111111…

1/7 = 0.142857142857…

1/3 = 0.333333333333…

1/81 = 0.0123456790…

2/3 = 0.666666666666…

7/12 = 0.58333333333…

ในแถบยุโรปมีการใช้สัญกรณ์อย่างอื่นที่ต่างออกไป คือใช้เครื่องหมายวงเล็บล้อมรอบชุดตัวเลขที่ซ้ำ เช่น

2/3 = 0. (6)

1/7 = 0. (142857)

7/12 = 0.58 (3)

เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะ

ในเศษส่วนอย่างต่ำที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะหนึ่งจำนวน p ที่นอกเหนือจาก 2 และ 5 (ซึ่งเป็นคู่จำนวนเฉพาะของ 10) จะมีค่าเป็นทศนิยมซ้ำเสมอ ซึ่งช่วงของการซ้ำในตัวเลขของ 1/p จะอยู่ที่ p − 1 (เป็นกลุ่มที่หนึ่ง) หรือเท่ากับตัวหารตัวใดตัวหนึ่งของ p − 1 (เป็นกลุ่มที่สอง) อย่างใดอย่างหนึ่ง
ตัวอย่างเศษส่วนในกลุ่มแรกมีดังนี้

1/7 = 0.142857…; 6 หลักซ้ำกัน

1/17 = 0.0588235294117647…; 16 หลักซ้ำกัน

1/19 = 0.052631578947368421…; 18 หลักซ้ำกัน

1/23 = 0.0434782608695652173913…; 22 หลักซ้ำกัน

1/29 = 0.0344827586206896551724137931…; 28 หลักซ้ำกัน

ซึ่งรวมไปถึงเศษส่วน 1/47, 1/59, 1/61, 1/97, 1/109 ฯลฯ
การคูณบนเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่ง ได้แสดงคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่งที่น่าสนใจ เช่น

2/7 = 2 × 0.142857… = 0.285714…

3/7 = 3 × 0.142857… = 0.428571…

4/7 = 4 × 0.142857… = 0.571428…

5/7 = 5 × 0.142857… = 0.714285…

6/7 = 6 × 0.142857… = 0.857142…

ซึ่งดูเหมือนว่า ตัวเลขที่ซ้ำกันในผลคูณจะได้มาจากการเลื่อนวนของ 1/7 แต่สาเหตุที่ทำให้เกิดพฤติกรรมการเลื่อนวนนั้นมาจากการคำนวณเลขคณิตในตัวเลขหลังทศนิยมเท่านั้น ซึ่งเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่งตัวอื่นๆ เช่น 1/17, 1/19, 1/23 ฯลฯ จะมีคุณสมบัติพิเศษเหล่านี้ด้วยเช่นกัน
เศษส่วนในกลุ่มที่สอง คือเศษส่วนที่นอกเหนือจากกลุ่มที่หนึ่งตามเงื่อนไขในตอนต้น อาทิ

1/3 = 0.333…; 1 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 1 เป็นตัวหารของ 2

1/11 = 0.090909…; 2 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 2 เป็นตัวหารของ 10

1/13 = 0.076923…; 6 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 6 เป็นตัวหารของ 12

โปรดสังเกตว่า การคูณเศษส่วน 1/13 ก็สามารถเกิดการเลื่อนวนในตัวเลขที่ซ้ำกัน และจะแบ่งออกเป็นสองชุด ชุดแรกได้แก่

1/13 = 0.076923…

3/13 = 0.230769…

4/13 = 0.307692…

9/13 = 0.692307…

10/13 = 0.769230…

12/13 = 0.923076…

และอีกชุดหนึ่งได้แก่

2/13 = 0.153846…

5/13 = 0.384615…

6/13 = 0.461538…

7/13 = 0.538461…

8/13 = 0.615384…

11/13 = 0.846153…

การสร้างเศษส่วนจากทศนิยมซ้ำ

บนทศนิยมซ้ำใดๆ สามารถคำนวณเพื่อเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ดังตัวอย่าง

$\begin{array}{lrll} & x & = 0.333333\dots & \quad (1) \\ (1) \times10; & 10x & = 3.33333\dots & \quad (2) \\ (2) - (1) ; & 9x & = 3 & \\ & x & = 3/9 = 1/3 & \\ \end{array}$

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง

$\begin{array}{lrll} & x & = 0.18181818\dots & \quad (1) \\ (1) \times100; & 100x & = 18.181818\dots & \quad (2) \\ (2) - (1) ; & 99x & = 18 & \\ & x & = 18/99 = 2/11 & \\ \end{array}$

และเมื่อทศนิยมซ้ำสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ทศนิยมซ้ำจึงเป็นจำนวนตรรกยะเสมอ

วิธีลัด

ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0.1 ถึง 1 และมีตัวเลขที่ซ้ำกันเป็นจำนวน n หลักทางขวาของจุดทศนิยม เราจะเขียนเศษส่วนได้โดยให้ตัวเศษเป็นชุดของตัวเลขที่ซ้ำ และเติมตัวส่วนเป็นเลข 9 จำนวน n ตัว เช่น

0.444444… = 4/9 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" ซึ่งมี 1 หลัก

0.565656… = 56/99 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" ซึ่งมี 2 หลัก

0.789789… = 789/999 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" ซึ่งมี 3 หลัก

ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 0.1 และมีเพียงเลข 0 จำนวน k หลัก นำหน้าชุดเลขซ้ำ n หลัก (ทั้งหมดต้องอยู่ทางขวาของจุดทศนิยม) ดังนั้นตัวเศษจะเป็นชุดเลขซ้ำ และตัวส่วนประกอบด้วยเลข 9 จำนวน n ตัว และเพิ่มเลข 0 จำนวน k ตัวลงไปด้วย เช่น

0.000444… = 4/9000 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" และนำด้วย "0" จำนวน 3 หลัก

0.005656… = 56/9900 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" และนำด้วย "0" จำนวน 2 หลัก

0.0789789… = 789/9990 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" และนำด้วย "0" จำนวน 1 หลัก

สำหรับทศนิยมอื่นที่นอกเหนือจากนี้ สามารถเขียนเป็นการบวกของทศนิยมรู้จบ กับทศนิยมซ้ำในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งดังที่กล่าวไว้แล้ว ดังตัวอย่าง

1.23444… = 1.23 + 0.00444… = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900

0.3789789… = 0.3 + 0.0789789… = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665

อย่างไรก็ตาม การใช้วิธีลัดจะยังไม่ให้ผลเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ซึ่งจะต้องทำการลดทอนต่อไปด้วยตัวเอง
หมายเหตุ 0.999999999 ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ยกเว้นส่วนหนึ่ง

ที่มาของข้อมูล : http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A8%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%A2%E0%B8%A1%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%B3

เศษส่วน

เค้กถูกตัดออกไปหนึ่งในสี่ส่วน เหลือเพียงสามในสี่ส่วน

ในทางคณิตศาสตร์ เศษส่วน คือความสัมพันธ์ตามสัดส่วนระหว่างชิ้นส่วนของวัตถุหนึ่งเมื่อเทียบกับวัตถุทั้งหมด เศษส่วนประกอบด้วยตัวเศษ (numerator) หมายถึงจำนวนชิ้นส่วนของวัตถุที่มี และตัวส่วน (denominator) หมายถึงจำนวนชิ้นส่วนทั้งหมดของวัตถุนั้น ตัวอย่างเช่น $\tfrac{ 3 } { 4 }$ อ่านว่า เศษสามส่วนสี่ หรือ สามในสี่ หมายความว่า วัตถุสามชิ้นส่วนจากวัตถุทั้งหมดที่แบ่งออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน นอกจากนั้น การแบ่งวัตถุสิ่งหนึ่งออกเป็นศูนย์ส่วนเท่า ๆ กันนั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น 0 จึงไม่สามารถเป็นตัวส่วนของเศษส่วนได้ (ดูเพิ่มที่ การหารด้วยศูนย์)

เศษส่วนเป็นตัวอย่างชนิดหนึ่งของอัตราส่วน ซึ่งเศษส่วนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างชิ้นส่วนย่อยต่อชิ้นส่วนทั้งหมด ในขณะที่อัตราส่วนพิจารณาจากปริมาณของสองวัตถุที่แตกต่างกัน (ดังนั้น $\tfrac{ 3 } { 4 }$ อาจไม่เท่ากับ 3 : 4) และเศษส่วนนั้นอาจเรียกได้ว่าเป็นผลหาร (quotient) ของจำนวน ซึ่งปริมาณที่แท้จริงสามารถคำนวณได้จากการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน ตัวอย่างเช่น $\tfrac{ 3 } { 4 }$ คือการหารสามด้วยสี่ ได้ปริมาณเท่ากับ 0.75 ในทศนิยม หรือ 75% ในอัตราร้อยละ

การเขียนเศษส่วน ให้เขียนแยกออกจากกันด้วยเครื่องหมายทับหรือ ซอลิดัส (solidus) แล้ววางตัวเศษกับตัวส่วนในแนวเฉียง เช่น ¾ หรือคั่นด้วยเส้นแบ่งตามแนวนอนเรียกว่า วิงคิวลัม (vinculum) เช่น $\tfrac{3}{4}$ ในบางกรณีอาจพบเศษส่วนที่ไม่มีเครื่องหมายคั่น อาทิ ³₄ บนป้ายจราจรในบางประเทศ

รูปแบบของเศษส่วน

เศษส่วนสามัญ เศษส่วนแท้ และเศษเกิน

เศษส่วนสามัญ (vulgar/common fraction) คือเศษส่วนที่มีทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม (โดยที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์) และเศษส่วนประเภทนี้เป็นจำนวนตรรกยะเสมอ เช่น $\tfrac{ 1 } { 3 }$ , $\tfrac{ 3 } { 4 }$ , $\tfrac{ 4 } { 3 }$ เป็นต้น สำหรับเศษส่วนที่ตัวเศษหรือตัวส่วนไม่เป็นจำนวนเต็ม อาจไม่เป็นจำนวนตรรกยะ นอกจากนั้นเศษส่วนสามัญยังแยกออกเป็นเศษส่วนแท้ (proper fraction) ซึ่งมีค่าของตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน ทำให้ปริมาณของเศษส่วนน้อยกว่า 1 เช่น $\tfrac{ 7 } { 9 }$ และเศษเกิน (improper fraction) คือเศษส่วนที่ค่าของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน เช่น $\tfrac{ 5 } { 5 }$ , $\tfrac{ 9 } { 7 }$

จำนวนคละ

จำนวนคละ (mixed number) เป็นการนำเสนอเศษส่วนอีกรูปแบบหนึ่ง โดยนำจำนวนเต็มประกอบเข้ากับเศษส่วนแท้ และมีปริมาณเท่ากับสองจำนวนนั้นบวกกัน ตัวอย่างเช่น คุณมีเค้กเต็มถาดสองชิ้น และมีเค้กที่เหลืออยู่อีกสามในสี่ส่วน คุณสามารถเขียนแทนได้ด้วย 2 $\tfrac{ 3 } { 4 }$ ซึ่งมีค่าเท่ากับ 2 + $\tfrac{ 3 } { 4 }$ จำนวนคละสามารถแปลงไปเป็นเศษเกินและสามารถแปลงกลับได้ตามขั้นตอนดังนี้

การแปลงจำนวนคละไปเป็นเศษเกิน (2 $\tfrac{ 3 } { 4 }$ )

คูณจำนวนเต็มเข้ากับตัวส่วนของเศษส่วนแท้ (2 × 4 = 8)

บวกผลคูณในขั้นแรกด้วยตัวเศษ (8 + 3 = 11)

นำผลบวกเป็นตัวเศษประกอบกับตัวส่วน เขียนใหม่เป็นเศษเกิน ( $\tfrac{ 11 } { 4 }$ )

การแปลงเศษเกินไปเป็นจำนวนคละ ( $\tfrac{ 11 } { 4 }$ )

หารตัวเศษด้วยตัวส่วน ให้เหลือเศษเอาไว้ (11 ÷ 4 = 2 เศษ 3)

นำผลหารที่ไม่เอาเศษไปเป็นจำนวนเต็ม (2_)

นำเศษจากการหารเป็นตัวเศษประกอบกับตัวส่วน เขียนเศษส่วนต่อท้ายจำนวนเต็ม (2 $\tfrac{ 3 } { 4 }$ )

เศษส่วนที่เทียบเท่ากัน

$\tfrac{ 2 } { 3 }$ เทียบเท่ากับ $\tfrac{ 4 } { 6 }$

เศษส่วนที่เทียบเท่ากับอีกเศษส่วนหนึ่ง สามารถหาได้จากการคูณหรือการหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนที่เท่ากัน (ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม) เนื่องจากจำนวน n ที่คูณหรือหารทั้งตัวเศษและตัวส่วน คือเศษส่วน $\tfrac{ n } { n }$ ที่มีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นปริมาณของเศษส่วนจึงไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น กำหนดเศษส่วน $\tfrac{ 1 } { 2 }$ เมื่อคูณด้วย 2 ทั้งตัวเศษและตัวส่วนจะได้ผลลัพธ์เป็น $\tfrac{ 2 } { 4 }$ ซึ่งยังคงมีปริมาณเท่ากับ $\tfrac{ 1 } { 2 }$ จึงกล่าวได้ว่า $\tfrac{ 2 } { 4 }$ เทียบเท่ากับ $\tfrac{ 1 } { 2 }$ เมื่อลองจินตนาการจะพบว่าสองในสี่ส่วนของเค้กหนึ่งก้อน ไม่แตกต่างจากการแบ่งเค้กครึ่งก้อน
การหารเศษส่วนด้วยจำนวนที่เท่ากัน (ซึ่งจะไม่ใช้ 0 เป็นตัวหาร) เป็นการตัดทอนหรือการลดรูปเศษส่วนให้มีตัวเลขน้อยลง สำหรับเศษส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมอื่นใดนอกจาก 1 กล่าวคือไม่มีตัวเลขอื่นนอกจาก 1 ที่สามารถหารแล้วได้เศษส่วนสามัญ เรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ ตัวอย่างเช่น $\tfrac{ 3 } { 8 }$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำเพราะมีตัวประกอบร่วมเพียงตัวเดียวคือ 1 ในทางตรงข้าม $\tfrac{ 3 } { 9 }$ ไม่เป็นเศษส่วนอย่างต่ำเนื่องจากยังสามารถหารด้วย 3 ได้อีกเป็น $\tfrac{ 1 } { 3 }$
นอกจากนั้นการเปรียบเทียบปริมาณของเศษส่วน หากไม่สามารถจินตนาการหรือวาดรูปได้ จำเป็นต้องสร้างเศษส่วนที่เทียบเท่าขึ้นมาใหม่โดยให้มีตัวส่วนเท่ากันก่อนจึงจะสามารถเปรียบเทียบได้ ซึ่งตัวส่วนดังกล่าวสามารถคำนวณได้จากการคูณตัวส่วนทั้งสอง หรือจากตัวคูณร่วมน้อย ตัวอย่างเช่น ถ้าต้องการเปรียบเทียบระหว่าง $\tfrac{ 3 } { 4 }$ กับ $\tfrac{ 11 } { 18 }$ ตัวส่วนสำหรับการเปรียบเทียบคือ ครน. ของ 4 กับ 18 มีค่าเท่ากับ 36 ดังนั้นจะได้เศษส่วนที่เทียบเท่าได้แก่ $\tfrac{ 27 } { 36 }$ กับ $\tfrac{ 22 } { 36 }$ ตามลำดับ ทำให้ทราบได้ว่า $\tfrac{ 3 } { 4 }$ มีปริมาณมากกว่า $\tfrac{ 11 } { 18 }$

เศษส่วนซ้อน

เศษส่วนซ้อน หรือ เศษซ้อน (complex/compound fraction) คือเศษส่วนที่มีตัวเศษหรือตัวส่วนเป็นเศษส่วนอื่น ตัวอย่างเช่น $\tfrac{1}{2} / \tfrac{1}{3}$ เป็นเศษส่วนซ้อน ในการลดรูปเศษส่วนซ้อนสามารถทำได้โดยการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน เหมือนการหารธรรมดา ดังนั้น $\tfrac{1}{2} / \tfrac{1}{3}$ จะมีค่าเท่ากับ $\tfrac{ 1 } { 2 }$ ÷ $\tfrac{ 1 } { 3 }$ = $\tfrac{ 3 } { 2 }$ นอกจากนั้นตัวเศษหรือตัวส่วนสามารถเป็นนิพจน์ของเศษส่วนอื่นต่อๆ กันไปได้ อย่างเช่นเศษส่วนต่อเนื่อง (continued fraction)

ส่วนกลับและตัวส่วนที่ไม่ปรากฏ

ส่วนกลับของเศษส่วน (reciprocal/inverse) หมายถึงเศษส่วนอีกจำนวนหนึ่งที่มีตัวเศษและตัวส่วนสลับกัน เช่น ส่วนกลับของ $\tfrac{ 3 } { 7 }$ คือ $\tfrac{ 7 } { 3 }$ และเนื่องจากจำนวนใดๆ หารด้วย 1 จะได้จำนวนเดิม ดังนั้นจำนวนใดๆ จึงสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น 17 เขียนให้เป็นเศษส่วนได้เป็น $\tfrac{ 17 } { 1 }$ ตัวเลข 1 นี้คือตัวส่วนที่ไม่ปรากฏ ดังนั้นจึงสามารถบอกได้ว่าเศษส่วนและจำนวนทุกจำนวน (ยกเว้น 0) สามารถมีส่วนกลับได้เสมอ จากตัวอย่าง ส่วนกลับของ 17 คือ $\tfrac{ 1 } { 17 }$

เลขคณิตของเศษส่วน

การเปรียบเทียบค่า

สำหรับการเปรียบเทียบค่าของเศษส่วนนั้น หากตัวส่วนเท่ากันสามารถนำตัวเศษมาเปรียบเทียบกันได้เลย

$\tfrac{3}{4}>\tfrac{2}{4}$ เพราะ

3 > 2

วิธีหนึ่งที่จะเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่เท่ากันคือการหาตัวส่วนร่วม ในการเปรียบเทียบ $\tfrac{a}{b}$ กับ $\tfrac{c}{d}$ ให้แปลงทั้งสองเป็น $\tfrac{ad}{bd}$ และ $\tfrac{bc}{bd}$ เมื่อได้ว่า

b d

เป็นตัวส่วนร่วมแล้ว ตัวเศษ

a c

และ

b c

ก็สามารถนำมาเปรียบเทียบกันได้
ตัวอย่างเช่น เปรียบเทียบระหว่าง $\tfrac{2}{3}$ กับ $\tfrac{1}{2}$ ให้แปลงเป็น $\tfrac{4}{6}$ กับ $\tfrac{3}{6}$ ซึ่งสามารถเปรียบเทียบกันได้
อีกกรณีหนึ่งที่เศษส่วนทั้งสองมีตัวเศษเท่ากัน เศษส่วนตัวที่มีตัวส่วนมากกว่าจะมีค่าน้อยกว่าตัวที่มีตัวส่วนน้อยกว่า

การบวกลบคูณหาร

เศษส่วนสามารถบวกลบคูณหารได้ และมีสมบัติการสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม การกระจาย รวมทั้งข้อยกเว้นของการหารด้วยศูนย์ เหมือนจำนวนทั่วไป
การบวกและการลบเศษส่วน แบ่งเป็นสองกรณีคือ กรณีที่ตัวส่วนเท่ากันและกรณีตัวส่วนไม่เท่ากัน สำหรับกรณีที่ตัวส่วนเท่ากัน เราสามารถนำตัวเศษมาบวกหรือลบกันได้ทันที และได้ผลลัพธ์เป็นเศษส่วนที่ยังคงมีตัวส่วนคงเดิม เช่น

$\tfrac{2}{4} + \tfrac{3}{4} = \tfrac{5}{4}$

$\tfrac{5}{8} - \tfrac{3}{8} = \tfrac{2}{8}$

ส่วนกรณีที่ตัวส่วนไม่เท่ากัน จำเป็นต้องหาเศษส่วนเทียบเท่าที่มีตัวส่วนที่เท่ากันก่อน จากการหาผลคูณหรือตัวคูณร่วมน้อยของตัวส่วนทั้งหมด เมื่อตัวส่วนเท่ากันแล้วจึงนำตัวเศษของเศษส่วนที่เทียบเท่ามาบวกหรือลบกันตามปกติ ตัวอย่างเช่น

$\tfrac{3}{4} + \tfrac{5}{12} = \tfrac{9}{12} + \tfrac{5}{12} = \tfrac{14}{12}$

การคูณเศษส่วนสามารถทำได้ง่าย โดยการนำตัวเศษคูณตัวเศษ ตัวส่วนคูณตัวส่วน ได้ผลลัพธ์ออกมาเป็นเศษส่วนที่เกิดจากผลคูณทั้งสอง อาทิ

$\tfrac{5}{6} \times \tfrac{7}{8} = \tfrac{35}{48}$

สำหรับการหารเศษส่วน ให้ทำตัวหารเป็นส่วนกลับแล้วทำการคูณแทนที่จะเป็นการหาร ดังตัวอย่าง

$\tfrac{2}{3} \div \tfrac{2}{5} = \tfrac{2}{3} \times \tfrac{5}{2} = \tfrac{10}{6}$

อักขระยูนิโคด

โคดพอยต์	อักขระ	ความหมาย
`U+00BC`	¼	เศษหนึ่งส่วนสี่
`U+00BD`	½	เศษหนึ่งส่วนสอง
`U+00BE`	¾	เศษสามส่วนสี่
`U+2044`	⁄	ซอลิดัส* (เส้นคั่น)
`U+2153`	⅓	เศษหนึ่งส่วนสาม
`U+2154`	⅔	เศษสองส่วนสาม

โคดพอยต์	อักขระ	ความหมาย
`U+2155`	⅕	เศษหนึ่งส่วนห้า
`U+2156`	⅖	เศษสองส่วนห้า
`U+2157`	⅗	เศษสามส่วนห้า
`U+2158`	⅘	เศษสี่ส่วนห้า
`U+2159`	⅙	เศษหนึ่งส่วนหก
`U+215A`	⅚	เศษห้าส่วนหก

โคดพอยต์	อักขระ	ความหมาย
`U+215B`	⅛	เศษหนึ่งส่วนแปด
`U+215C`	⅜	เศษสามส่วนแปด
`U+215D`	⅝	เศษห้าส่วนแปด
`U+215E`	⅞	เศษเจ็ดส่วนแปด
`U+215F`	⅟	เศษหนึ่งส่วน...

* สำหรับการแก้ไขข้อความที่สามารถจัดรูปแบบได้ ซอลิดัสสามารถใช้คู่กับตัวเลขที่เป็นตัวยก (superscript) และตัวห้อย (subscript) เช่น ⁸⁄₉ ส่วนข้อความธรรมดานิยมใช้เครื่องหมายทับ (/) แทน เช่น 8/9

ที่มาของข้อมูล : http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A8%E0%B8%A9%E0%B8%AA%E0%B9%88%E0%B8%A7%E0%B8%99