สมบัติพื้นฐาน
อนุกรมสามารถสร้างขึ้นได้จากเซตหลายประเภทรวมทั้งจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน ฯลฯ นิยามต่อไปนี้จะถูกกำหนดบนจำนวนจริง แต่ก็สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปได้กำหนดให้ลำดับไม่จำกัดของจำนวนจริง {an} เรานิยามให้
ความสับสนที่อาจเกิดขึ้น
เมื่อพูดถึงอนุกรม เราอาจหมายถึงลำดับ {SN} ของผลรวมบางส่วน หรือหมายถึง ผลรวมของอนุกรม อย่างใดอย่างหนึ่ง ขึ้นอยู่กับบริบทอนุกรมลู่เข้าและลู่ออก
อนุกรม ∑an จะเรียกว่า ลู่เข้า (converge) เมื่อลำดับ {SN} ของผลรวมบางส่วนมีลิมิตที่ไม่เป็นอนันต์ แต่ถ้าลิมิตของ SN เป็นอนันต์หรือไม่มีลิมิต อนุกรมนั้นจะเรียกว่า ลู่ออก (diverge) และเมื่อผลรวมบางส่วนมีลิมิต เราเรียกลิมิตนั้นว่าเป็น ผลรวมของอนุกรมนักคณิตศาสตร์ได้นำวิธีเดียวกันนี้ไปใช้อธิบายสิ่งอื่นๆ เป็นแนวความคิดแบบอนุกรม เช่นเมื่อเราพูดถึงทศนิยมซ้ำจำนวนนี้
ตัวอย่างอนุกรม
- อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น
- อนุกรมฮาร์มอนิก คืออนุกรมดังนี้
- อนุกรมสลับเครื่องหมาย เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ มีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน ตัวอย่างเช่น
- สำหรับอนุกรมนี้
- สำหรับอนุกรมเทเลสโคปนี้
สมบัติอื่นๆ
อนุกรมมิได้ถูกแบ่งเพียงว่าจะลู่เข้าหรือลู่ออก อนุกรมยังสามารถแบ่งออกไปได้อีกโดยขึ้นอยู่กับสมบัติของพจน์ an (ลู่เข้าสัมบูรณ์หรือลู่เข้าตามเงื่อนไข) ประเภทของการลู่เข้าของอนุกรม (ลู่เข้ารายจุดหรือลู่เข้าสม่ำเสมอ) ประเภทของพจน์ an (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริง ลำดับเรขาคณิต ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) และอื่นๆ อีกมากมายพจน์ที่ไม่เป็นลบ
เมื่อ an เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบสำหรับทุกค่าของ n ดังนั้นลำดับ SN ของผลรวมบางส่วนจึงมีค่าที่ไม่ลดลง อนุกรม ∑an ซึ่งพจน์ไม่เป็นลบจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับ SN ของผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขตตัวอย่างเช่น กำหนดให้
การลู่เข้าสัมบูรณ์
- ดูบทความหลักที่ การลู่เข้าสัมบูรณ์
การลู่เข้าตามเงื่อนไข
- ดูบทความหลักที่ การลู่เข้าตามเงื่อนไข
การทดสอบของอาเบล (Abel's test) เป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับอนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข ถ้าหากอนุกรมนั้นอยู่ในรูปแบบ
ที่มาของข้อมูล : http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น