สำหรับทศนิยมที่เขียนให้เลข 0 ตัวสุดท้ายซ้ำกันไปเรื่อยๆ ไม่ถือว่าเป็นทศนิยมซ้ำ เนื่องจากตำแหน่งของทศนิยมจะสิ้นสุดก่อนถึงเลข 0 ตัวสุดท้าย เพราะการเติมเลข 0 ซ้ำกันไปเรื่อยๆ นั้นไม่มีความจำเป็น คือไม่ทำให้ค่าของตัวเลขเปลี่ยนแปลงไปจากเดิม เช่น 0.56000000... = 0.56
ในกรณีพิเศษอย่างหนึ่งของทศนิยมซ้ำที่ไม่จำเป็น แต่บางครั้งก็มีประโยชน์ นั่นคือการซ้ำของเลข 9 เพียงตัวเดียว ซึ่งเลข 9 ที่ซ้ำทั้งหมดสามารถละทิ้งได้และเพิ่มค่าหลักที่อยู่ก่อนหน้าขึ้นไปหนึ่ง เช่น 0.999999... = 1 หรือ 1.77999999... = 1.78 โดยทั่วไปแล้ว รูปแบบการซ้ำของเลข 9 ใช้อธิบายว่าจำนวนมีที่มาอย่างไร หรือเพื่อแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ที่น่าสนใจ อาทิ 1 = 3/3 = 3 × 1/3 = 3 × 0.333333... = 0.999999... ดูเพิ่มที่ 0.999...
ทศนิยมในประเภทอื่นมี ทศนิยมรู้จบ และทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ
- ทศนิยมรู้จบ คือจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนอย่างต่ำในรูปแบบ k / (2m5n) ซึ่งตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์
- ทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ คือจำนวนอตรรกยะ ซึ่งไม่สามารถเขียนแทนด้วยอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้
สัญกรณ์
ในการเขียนทศนิยมซ้ำให้อยู่ในรูปแบบที่อ่านง่าย ทำได้โดยการเติมขีดแนวนอน (vinculum) ไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำกัน เช่น หรือเติมจุดไว้เหนือกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำ ในตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้าย เช่น อย่างไรก็ตาม การใช้จุดประ 3 จุด (…) เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการนำเสนอทศนิยมซ้ำ ถึงแม้ว่ายังไม่มีคำแนะนำว่าจะต้องเขียนชุดเลขที่ซ้ำมาก่อนกี่ครั้ง ตัวอย่างเช่น- 1/9 = 0.111111111111…
- 1/7 = 0.142857142857…
- 1/3 = 0.333333333333…
- 1/81 = 0.0123456790…
- 2/3 = 0.666666666666…
- 7/12 = 0.58333333333…
- 2/3 = 0. (6)
- 1/7 = 0. (142857)
- 7/12 = 0.58 (3)
เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะ
ในเศษส่วนอย่างต่ำที่มีตัวส่วนเป็นจำนวนเฉพาะหนึ่งจำนวน p ที่นอกเหนือจาก 2 และ 5 (ซึ่งเป็นคู่จำนวนเฉพาะของ 10) จะมีค่าเป็นทศนิยมซ้ำเสมอ ซึ่งช่วงของการซ้ำในตัวเลขของ 1/p จะอยู่ที่ p − 1 (เป็นกลุ่มที่หนึ่ง) หรือเท่ากับตัวหารตัวใดตัวหนึ่งของ p − 1 (เป็นกลุ่มที่สอง) อย่างใดอย่างหนึ่งตัวอย่างเศษส่วนในกลุ่มแรกมีดังนี้
- 1/7 = 0.142857…; 6 หลักซ้ำกัน
- 1/17 = 0.0588235294117647…; 16 หลักซ้ำกัน
- 1/19 = 0.052631578947368421…; 18 หลักซ้ำกัน
- 1/23 = 0.0434782608695652173913…; 22 หลักซ้ำกัน
- 1/29 = 0.0344827586206896551724137931…; 28 หลักซ้ำกัน
การคูณบนเศษส่วนในกลุ่มที่หนึ่ง ได้แสดงคุณสมบัติพิเศษอย่างหนึ่งที่น่าสนใจ เช่น
- 2/7 = 2 × 0.142857… = 0.285714…
- 3/7 = 3 × 0.142857… = 0.428571…
- 4/7 = 4 × 0.142857… = 0.571428…
- 5/7 = 5 × 0.142857… = 0.714285…
- 6/7 = 6 × 0.142857… = 0.857142…
เศษส่วนในกลุ่มที่สอง คือเศษส่วนที่นอกเหนือจากกลุ่มที่หนึ่งตามเงื่อนไขในตอนต้น อาทิ
- 1/3 = 0.333…; 1 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 1 เป็นตัวหารของ 2
- 1/11 = 0.090909…; 2 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 2 เป็นตัวหารของ 10
- 1/13 = 0.076923…; 6 หลักซ้ำกัน ซึ่ง 6 เป็นตัวหารของ 12
- 1/13 = 0.076923…
- 3/13 = 0.230769…
- 4/13 = 0.307692…
- 9/13 = 0.692307…
- 10/13 = 0.769230…
- 12/13 = 0.923076…
- 2/13 = 0.153846…
- 5/13 = 0.384615…
- 6/13 = 0.461538…
- 7/13 = 0.538461…
- 8/13 = 0.615384…
- 11/13 = 0.846153…
การสร้างเศษส่วนจากทศนิยมซ้ำ
บนทศนิยมซ้ำใดๆ สามารถคำนวณเพื่อเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ดังตัวอย่างวิธีลัด
ถ้าทศนิยมซ้ำมีค่าอยู่ระหว่าง 0.1 ถึง 1 และมีตัวเลขที่ซ้ำกันเป็นจำนวน n หลักทางขวาของจุดทศนิยม เราจะเขียนเศษส่วนได้โดยให้ตัวเศษเป็นชุดของตัวเลขที่ซ้ำ และเติมตัวส่วนเป็นเลข 9 จำนวน n ตัว เช่น- 0.444444… = 4/9 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" ซึ่งมี 1 หลัก
- 0.565656… = 56/99 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" ซึ่งมี 2 หลัก
- 0.789789… = 789/999 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" ซึ่งมี 3 หลัก
- 0.000444… = 4/9000 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "4" และนำด้วย "0" จำนวน 3 หลัก
- 0.005656… = 56/9900 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "56" และนำด้วย "0" จำนวน 2 หลัก
- 0.0789789… = 789/9990 เนื่องจากชุดเลขซ้ำคือ "789" และนำด้วย "0" จำนวน 1 หลัก
- 1.23444… = 1.23 + 0.00444… = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
- 0.3789789… = 0.3 + 0.0789789… = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
หมายเหตุ 0.999999999 ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ยกเว้นส่วนหนึ่ง
ที่มาของข้อมูล : http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A8%E0%B8%99%E0%B8%B4%E0%B8%A2%E0%B8%A1%E0%B8%8B%E0%B9%89%E0%B8%B3
- >>
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น