- จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน i ซึ่งทำให้สมการ i2 + 1 = 0 เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน z ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป x + iy โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก x และ y ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z ตามลำดับ เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใดๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จำเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น
>>
>>นิยาม
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน
ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ (a,b) ทั้งหมดโดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ + (การบวก) และ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้ ให้ (a,b) และ (c,d) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ
เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ
- การบวกและการคูณมีสมบัติปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
- มีเอกลักษณ์การบวกคือ (0,0)
- มีเอกลักษณ์การคูณคือ (1,0)
- อินเวอร์สการบวกของ z = (a,b) (เขียนแทนด้วย − z) คือ (-a,-b)
- ถ้าหาก อินเวอร์สการคูณของ z (เขียนแทนด้วย z − 1) คือ
จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม
อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้
- เมื่อ c เป็นจำนวนจริงและ (a,b) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ
จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า i2 = ( − 1,0) = − 1 นั่นคือ i เป็นคำตอบของสมการ x2 + 1 = 0 ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม x2 + 1 อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม กับไอดีล (x2 + 1) เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า
สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง
ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ
ถ้า เราเรียก a ว่า ส่วนจริง ของ z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ และเราเรียก b ว่า ส่วนจินตภาพ ของ z เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ (imaginary number)
สังยุคเชิงซ้อน
ถ้า เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ z คือ เราเขียนแทนสังยุคของ z ด้วย สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้
ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน
ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน เขียนแทนด้วย | z | คือจำนวนจริงบวก เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0,0) ไปยังจุด (a,b) บนระนาบคาร์ทีเชียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้
- (อสมการสามเหลี่ยม)
- ก็ต่อเมื่อ
ระนาบเชิงซ้อน
เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ
พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน คือ (a,b) ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ เมื่อ r = | z | และ เป็นมุมที่เวกเตอร์ (a,b) ทำกับแกน x ในหน่วยเรเดียน เราเรียก ว่า อาร์กิวเมนต์ของ z และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ arg(z) สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ 2π จะมีค่าเท่ากัน
สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้
การคูณด้วย i = eiπ / 2 จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ i2 = − 1 ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์ (0,1) ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1,0)"
สมบัติต่างๆ
การเรียงลำดับ
ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย
ปริภูมิเวกเตอร์
อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน (-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป
สมบัติเชิงพีชคณิต
(หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ C) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้
- มีแคแรกเทอริสติก 0
- มีดีกรีอดิศัยเมื่อเทียบกับฟีลด์เฉพาะใดๆ เท่ากับขนาดของเซตจำนวนจริง
- มีสมบัติปิดเชิงพีชคณิต (ดู ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต)
วันอังคารที่ 10 มกราคม พ.ศ. 2555
จำนวนเชิงซ้อน
สมัครสมาชิก:
ส่งความคิดเห็น (Atom)
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น